Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 026.29702
Autor: Erdös, Pál
Title: On the integers of the form xk+yk. (In English)
Source: J. London Math. Soc. 14, 250-254 (1939).
Review: Von dem Verf. war zusammen mit K.Mahler [J. London Math. Soc. 13, 134-139 (1938; Zbl 018.34401] auf nicht elementare Art bewiesen worden, daß die Anzahl der durch eine gegebene binäre quadratische Form f(x,y) mit ganzen Koeffizienten, nichtverschwindender Diskriminante und einem Grade k \geq 3 mittels positiver x und y eigentlich darstellbaren Zahlen \leq n nicht o(n^ 2/k ) sein kann. Hier wird nun derselbe Satz für den Sonderfall f(x,y) = xk+yk mit ungeradem k elementar bewiesen, und zwar durch Verfeinerung eines von Pillai [J. London Math. Soc. 3, 56-61 (1928)] zum Beweis einer schwächeren Abschätzung für alle Formen xk+yk mit nicht durch 4 teilbarem k eingeführen Verfahrens. Formal lassen sich für jedes a mit 2 < a < \root k \of n sofort 1/2 \phi (a) Darstellungen von Zahlen r \leq n angeben; es kommt aber darauf an, die Häufigkeit des Auftretens eines einzelnen r nach oben abzuschätzen. Das kommt auf die Betrachtung der Lösungszahl der diophantischen Gleichung xk+yk = uk+vk mit gegebenen x+y = a1, u+v = a2 hinaus. Eine für diesen Zweck brauchbare Abschätzung dieser Lösungszahl nach oben gelingt, wenn für m = a1, und m = a2 die Beziehungen (m,k) = 1, \psi(m) < \root{10}\of m bestehen, wo \psi(m) das Produkt der höchsten in m aufgehenden Potenzen derjenigen Primzahlen bedeutet, die nach allen Primteilern k kongruent 1 sind. Es zeigt sich nun, daß die Anzahl der a von der obigen Beschaffenheit mit der Nebenbedingung (a,k) = 1, \psi(a) < \root{10} \of a noch hinreichend groß wird, damit sich die halbe Summe der zugehörigen \phi (a) als cn^ 2/k erweist, wo c eine positive Konstante ist. Unter Berücksichtigung der Abschätzung für die Lösungszahl jener diophantischen Gleichung entsteht nunmehr auch für die Anzahl der verschiedenen darstellbaren Zahlen \leq n eine untere Abschätzung von der Gestalt cn^ 2/k , woraus insbesondere die Behauptung folgt.
Reviewer: Weber (Berlin)
Classif.: * 11E76 Forms of degree higher than two
11D41 Higher degree diophantine equations
11D85 Representation problems of integers
Index Words: Number theory
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