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INTRODUZIONE

Questa è la storia di un successo.

Successo dovuto, come spesso accade, ad una serie di casi fortuiti e, al tempo stesso, di scelte ragionate; in sostanza ad una serie di incontri di persone in luoghi che erano fertili per questo successo.

È avvenuto alla Facoltà di Architettura dell'Università Roma Tre. Erano i primi anni di vita della nuova Università romana, e l'ambiente era pronto a ricevere nuovi stimoli. La lungimiranza dell'allora preside della facoltà, Carlo Melograni, confermata dall'attuale, Francesco Cellini, ha permesso che i corsi fossero svecchiati nei contenuti e nelle forme. È fondamentale quando si sperimenta, che i dirigenti pazientino ed ispirino curiosità, entusiasmo e fiducia agli studenti.

I CONTENUTI DEI CORSI LUNGO IL CURRICULUM
Siamo partiti da un'idea molto precisa: la matematica che s'insegna è antica. Non è obsoleta, ma è certamente antica. Questo fornisce già un tema di riflessione sui contenuti: la matematica è vivente, e si trasforma, cosa che pochi cittadini sanno; e inoltre essa non cresce per falsificazione delle teorie precedenti, che felicemente continuiamo ad usare nel loro rigore, ma per ampliamento delle teorie o per cambiamento dei temi trattati, spesso sotto l'influenza di altri settori, della cultura circostante e dello "spirito dei tempi", di cui la matematica è sempre stata parte integrante.

Si è cercato quindi di aggiornare gli argomenti, i metodi ed i temi, rilevando come in ogni caso continuiamo a adoperare anche tutta la matematica precedente, che tipicamente col tempo acquista una certa snellezza, e con essa il rigore e l'eleganza cui gli allievi architetti sembrano altrettanto sensibili degli studenti di matematica.

Fin dall'inizio, forti di esperienze di insegnamento fatte negli Stati Uniti, e della nostra formazione italiana, abbiamo avuto chiare alcune idee.

La prima cosa da insegnare è un metodo di lavoro: il primo degli strumenti che si deve offrire agli studenti è la capacità di leggere un testo di matematica. Si è dunque cercato di fornire, nel quadro di un tipico corso di calcolo, le competenze adeguate per essere consapevoli che le nozioni non discusse nel corso esistono in letteratura, e sono abbordabili a molti livelli, anche dall'inizio; anche durante un corso di matematica uno studente dovrebbe essere in grado di entrare in una biblioteca scientifica e fornirsi dei testi di cui ha bisogno. Questo è pacifico per gli studenti delle facoltà umanistiche, molto meno per gli allievi dei corsi di matematica cosiddetti "di servizio"; del resto questo non è un obiettivo neanche nei corsi di laurea in Matematica, e molti ci avevano pronosticato sicuro insuccesso nel perseguirlo. E' risultato, invece non solo un obiettivo conseguito, ma un mezzo sicuro per superare "l'ansia da matematica" entrando nel merito, vale a dire facendola in prima persona, ed operando scelte anche individuali su testi ed interessi.

Quest'obiettivo è stato perseguito ed ottenuto, fin dal primo anno di corso. Lungo tutti i corsi di matematica della facoltà, gli studenti vengono invitati a lavorare in proprio. A primo anno, forniamo una bibliografia di argomenti non trattati a lezione, su cui documentarsi da soli. A questo scopo, ad esempio, funziona benissimo "Che cos'è la matematica?" [1] di Courant e Robbins, le cui argomentazioni, rigorose, vanno spesso riempite da dimostrazioni in proprio, ed i cui soggetti danno bene l'idea dell'evolversi storico della matematica, cui gli allievi architetti sono molto sensibili. In particolare, per i corsi di primo anno, suggeriamo di prendere uno dei problemi di minimo e studiarli dettagliatamente.

Funzionano anche egregiamente, nello stesso spirito, i libretti della "Little Mathematics Library" della casa editrice MIR, tradotti in inglese e francese, ma ormai introvabili, che speriamo fortemente vengano riediti. Raccoglievano conferenze su temi matematici avanzati tenute da studiosi presso licei dell'allora URSS.

Nei corsi degli anni seguenti, invece, gli studenti sono invitati a formalizzare matematicamente dei loro percorsi conoscitivi, traendo ispirazione dove meglio credono. Di questo parleremo più tardi. Quello che per noi è essenziale è l'invito agli studenti a parlare di matematica tra loro, ad essere autonomi nella valutazione del rigore di ciò che fanno, a provare l'ebbrezza del rigore e dell'eleganza, a misurare tutto questo nel miglioramento delle loro capacità di comunicare con altri o con se stessi durante lo sviluppo delle idee.

Il docente deve essere in grado di monitorare continuamente il percorso dello studente: da qui la scelta di fare più prove in corso d'anno e quella di dedicare almeno un'ora settimanale alla verifica immediata in aula, di esercizi. In particolare, iniziamo il corso con un "auto-test" che è essenziale per permettere agli studenti di capire il loro grado di preparazione. Nel giro di poche settimane amministriamo poi la prima prova scritta in corso d'anno, che sarà poco rilevante ai fini del giudizio finale, ma che permette allo studente di valutare sia i prerequisiti, sia la sua capacità di recupero del linguaggio e dei metodi.

Uno dei principali problemi all'inizio di un corso di matematica ad architettura, ma lo stesso discorso vale probabilmente per i corsi di matematica "di servizio", è rappresentata dal diverso grado di preparazione degli studenti. Le motivazioni verso la matematica, in questi studenti, non sono così forti da colmare le lacune di conoscenza della materia, e molto spesso si ricorre a "precorsi", dove in poche lezioni si fa un generico ripasso dei prerequisiti. Per noi si è dimostrato più vantaggioso far presente con chiarezza agli studenti quali fossero i prerequisiti, (pochi, chiari, ed autovalutati) ed aspettare la prima prova in corso d'anno per verificare, solo a quel punto, la situazione.

La parola d'ordine, dunque, è davvero rendere autonomi gli studenti, sia per le lacune, sia per aspirazioni individuali, seguendoli e dandogli tutte le indicazioni del caso.

Nel corso di primo anno copriamo i contenuti di un corso universitario di Calcolo, in una variabile. Particolare cura in questo caso è a presentare tutti gli argomenti contemporaneamente, nella stessa lezione dal punto di vista modellistico, numerico, geometrico ed analitico. La matematica fornisce ponti per agire questi punti di vista, e per tradurli l'uno nell'altro.
Il corso di primo anno è stato aggiornato in collaborazione con Corrado Falcolini, che ci ha raggiunti ormai dal 2000.
Fin dall'inizio, i risultati di quest'insieme di cose sono stati positivi oltre quanto noi stessi ci aspettavamo. In Fig. 1 riportiamo parte dello schema generale tenuto da Sara Bertucci della segreteria didattica della facoltà, per monitorare il flusso degli studenti attraverso gli esami; dallo schema si può vedere che dall'anno in cui abbiamo cominciato ad insegnare il corso di primo anno (1994-95), non solo gli studenti hanno cominciato a passare l'esame di matematica, ma, cosa forse più interessante, hanno preso confidenza e fiducia nella loro capacità di acquisire linguaggio tecnico e seguire argomentazioni scientifiche, ed hanno man mano superato gli esami di Statica e Scienza delle Costruzioni che precedentemente costituivano un blocco in tutte le scuole di architettura italiane. Il confronto con i colleghi di Statica e Scienza , ed il loro sostegno continuo a queste scelte, ci ha permesso di andare avanti e raffinare gli obbiettivi.

Fig. 1. Schema generale tenuto per monitorare il flusso degli studenti attraverso gli esami

SECONDO ANNO [2]

Ancora più rilevante è stato l'intervento nei corsi del secondo anno. L'idea base è stata quella di utilizzare, per parlare della matematica moderna, uno strumento che non manca certo agli studenti di architettura: la capacità di visualizzare oggetti astratti, insieme con la capacità di rappresentarli in vari modi, selezionando di volta in volta i modelli di rappresentazione. Pensiamo, con lo storico della matematica Lucio Russo, che "una dimostrazione matematica è un ragionamento con una sola conclusione". Quindi, perché non permettere agli studenti di partire dai loro modelli per arrivare alla comprensione delle questioni di fondo su argomenti matematici non-banali, quali le geometrie non-euclidee?

La teoria delle geometrie localmente euclidee è una teoria completa, elegante, e attraverso cui si possono affrontare diverse problematiche: fornisce chiavi per cancelli di altri giardini concettuali [3]. Riassumiamo qui le caratteristiche della teoria che ci hanno colpito, anche dal punto di vista della comunicazione in ambienti extra-matematici:

• È un pezzo di cultura matematica del XX secolo: troppo spesso i problemi affrontati nei corsi universitari si limitano a contributi precedenti.
• Si parla di geometrie bidimensionali (superfici), la cui immersione nello spazio tridimensionale (ed eventuale costruzione di modelli plastici) è non banale: siamo tutti adusi a rappresentazioni bidimensionali di oggetti che vivono in uno spazio tridimensionale, questa è una nuova [4], o poco raccontata.
• L' espressione "in spazi opportuni" per i matematici è abituale fino ad essere ovvia, è un topos dei loro seminari, e per tutti gli altri è talmente nuova da suonare fantascientifica. Le geometrie localmente euclidee forniscono spazi opportuni. Nel nostro caso, l' "opportunità" è perché essi forniscono gli spazi degli atti di moto per alcune semplici dinamiche, ad esempio il pendolo, rendendo al contempo patenti eventuali regolarità o irregolarità delle traiettorie, tema caro al XX secolo [5].
• Per comprenderle è necessario un bagaglio minimo (ma rigoroso ed inevitabile) di strutture algebriche astratte: relazioni di equivalenza e gruppi [6].
• Da ultimo, ma non da meno, il contenuto della teoria poggia almeno inizialmente su un intuito figurativo, anche per i matematici; il passaggio dall' intuito alla visualizzazione, e alla riproduzione di alcune caratteristiche, passa necessariamente per un processo di astrazione; a questo livello si inserisce il trattamento matematico formale. La strada di ritorno, dal trattamento matematico all' intuizione, porta in luoghi in cui l' intuito non era e non sarebbe arrivato senza quel trattamento matematico, specie per quanto riguarda l' immaginario spaziale. Basti pensare alla superfici non-orientabili nello spazio tridimensionale (nastro di Mobius e bottiglia di Klein), che trovano in questo contesto rigorosa rappresentazione bidimensionale.

Fig. 2. Elisa Conversano: nodo 2:3 su toro. (rendering: Pov ray)

Inoltre l'incontro di matematici di diversa formazione (analisti, fisici matematici, geometri) permetteva di mettere a frutto diversi modi di interpretare lo stesso oggetto matematico, ed usarlo in contesti diversi.

I nostri corsi sono sempre iniziati mettendo gli studenti di fronte a modelli "costruibili" degli oggetti matematici. Questi modelli vengono poi utilizzati per dedurre le proprietà matematiche essenziali, che vengono quindi opportunamente formalizzate. Il percorso si completa poi in senso esattamente opposto, quando, fiduciosi del nesso tra intuizione visiva, rappresentazione plastica e rappresentazione formalizzata, gli studenti spingono la loro intuizione verso sponde cui non era arrivata, e cui non avrebbe potuto arrivare, se non per ragionamento matematico, come nella costruzione di superfici non-orientabili.

In questo modo sono stati introdotti rigorosamente concetti e strumenti quali: relazioni di equivalenza e loro spazi quozienti, gruppi e simmetrie, tassellazioni, lo spazio tangente.

Per le prove di valutazione, superata una prova scritta uguale per tutti sui contenuti del calcolo di più variabili e geometria spaziale, gli studenti sono invitati a svolgere lavori autonomi, traendo dove credono l'ispirazione per comporre pezzi di matematica.

In fig.3 il risultato del lavoro di A. Salvatore, poi completato negli anni seguenti da A. Carlini ed A. Spatafora, che adoperando i gruppi di tassellazione del piano, hanno ricostruito l'aspetto originale dei pavimenti delle tabernae dei Mercati Traianei a Roma.

Fig. 3. A. Carlini, A. Spatafora, ricostruzione del pavimento delle tabernae dei Mercati Traianei, Roma

Ci siamo avvalsi di seminari e minicorsi tenuti da docenti esterni sui loro argomenti di ricerca, all'interno del corso di secondo anno. La prima esperienza è stata con Capi Corrales Rodriganez (.U. Complutense, Madrid), che ha proposto da noi per la prima volta il corso [7], che è poi diventato un libro [8]. Al corso di Corrales sono seguiti moltissimi lavori autonomi di studenti, parte dei quali sono raccolti nel Cdrom "Dalla scatola alla rete in Matematica ed in pittura", a cura di Giulia Longo, ed altri comparsi nella mostra "Spazi matematici, spazi pittorici", allestita dall'arch. Michele Furnari nella nostra facoltà a dicembre 1998.

In fig. 4 e fig. 5 il lavoro sugli spazi astratti, da cui è abbastanza chiaro cosa intendiamo per "lasciarsi ispirare" per comporre della matematica; nel caso che la matematica in questione fosse stata già composta da altri, questo vuol dire imparare.
Tra gli altri studiosi intervenuti, abbiamo avuto ad esempio A. Toschi, che è stato il consulente matematico per la pittrice Paola Levi Montalcini negli anni '70, quando maggiormente era affascinata da certe curve e loro composizioni, che realizzò su rame.

Fig. 5 Paola Levi Montalcini, Whitney

CORSI OPZIONALI
I corsi precedenti sono obbligatori per tutti gli studenti.

Abbiamo anche un corso opzionale di quinto anno, svolto in collaborazione con Gian Marco Todesco.

Metà del corso ha contenuti matematici, l'altra metà è svolta nel laboratorio di calcolo della facoltà.

Abbiamo dato a questo corso il nickname di "Matematica come tavolozza". La progettazione di forme, sia fatta con riga e compasso o con un sofisticato sistema di CAD, presuppone sempre una struttura matematica soggiacente (magari nascosta dietro l'intuitività dello strumento). Il corso offre agli studenti la possibilità di sperimentare in laboratorio alcune tecniche relativamente poco convenzionali in un ambiente molto versatile e potente. L'obiettivo è migliorare la comprensione degli strumenti esistenti e provare a progettarne di interamente nuovi.

Nell'architettura contemporanea queste tecniche di progettazione stanno avendo un ruolo sempre più importante.

Al termine del corso gli studenti avranno una conoscenza sia matematica che operativa dei seguenti argomenti:

• poliedri regolari e uniformi, poliedri e simmetrie poliedrali;
• cupole geodediche, reticoli;
• disegno procedurale, i cicli e altre strutture di controllo, generazione di strutture ricorsive (frattali), definizione di strutture mobili;
• curve parametriche e superfici parametriche, selezione della formula più adatta per rappresentare una forma assegnata;
• conchiglie, elicoidi, superfici rigate, superfici topologicamente complesse;
• superfici definite in forma implicita;
• alcuni strumenti di disegno rinascimentali (ellissografo di Leonardo…etc.);
• triedro di vettori attaccato ad una curva, e suo utilizzo in animazione;
• oggetti frattali, loro dimensione frazionaria.

L'ambiente di sviluppo è costituito da un programma che permette di generare un'immagine fotorealistica a partire da una descrizione formale della scena. Il programma si chiama POVRAY, è disponibile gratuitamente su Internet ed è relativamente semplice da imparare. Questo è un enorme vantaggio, anche didattico: la disponibilità public domain, infatti, immette da subito gli studenti in un ambiente di persone che sviluppano software.

PROJETTI

Sfera di Hobermann. Uno studio della sfera di Hobermann, fatto da Riccardo Pejani a partire dal giocattolo, che si trova in vendita sui marciapiedi delle nostre città. È stata ricostruita la sfera, studiata la geometria dei perno che ne permette il rimpicciolimento ed ingrandimento in animazione. A partire da questo lavoro di corso è ora in corso di stesura una tesi di laurea sulle strutture di copertura pieghevoli.

Fig. 6 R. Pejani: studio per la ricostruzione del movimento della sfera di Hobermann. Pov Ray

Uova. Questo è stato uno dei progetti più istruttivi. È nato sotto Pasqua, quando qui in Italia ci si regala uova. Gian Marco Todesco ha lasciato l'aula dicendo "progettate un uovo", e ne sono venuti fuori molti modelli, tutti diversi. Alban Hintzy li ha raccolti, ne ha verificato i parametri di vicinanza in rapporto ad un uovo di gallina, e poi ha fatto uno studio sull'economicità dei vari metodi. I metodi spaziano da modifiche parametriche di tre metodi classici per disegnare ellissi, alle tecniche oggi più adoperate dagli architetti. Lo studio sull' efficacia e l'economicità dei vari metodi (tempo macchina, numero di parametri da fissare), è dunque essenziale.

Fig. 7 Alban Hintzy: Sei modi per disegnare un uovo

Per finire, tra i molti altri lavori del corso, presentiamo quello che è più direttamente legato all'architettura, nel senso che lo studente, Marco Ferrelli, aveva precedentmente progettato questo "luogo di meditazione", costruendone il plastico. L'uso del calcolatore gli ha permesso di stendere un progetto più completo, di capire la struttura profonda che lo sottendeva, e di vagliarne l'adattabilità ed orientabilità a seconda del terreno. La struttura, infatti, prevede un copertura che funziona da meridiana solare.

Fig. 8 M. Ferrelli: Studio delle fasi di luce per la struttura da meditazione

NOTES

[1] Courant, Robbins. Che cos'è la matematica? Boringhieri. ritornare al testo

[2] A. Pagano, L. Tedeschini Lalli. Geometrie e Modelli, in uscita luglio 2005, Aracne. ritornare al testo

[3] V.V. Nikulin, I.R. Shafarevich. Geometries and groups; trad. dal russo di M. Reid. Springer-Verlag, Berlin, New York (1987). ritornare al testo

[4] L.A. Lyusternik. The Shortest Lines, Little Mathematics Library MIR Publishers Moscow 1983. ritornare al testo

[5] V.I. Arnold. Metodi Matematici in Meccanica Classica, Editori Riuniti, 1979. ritornare al testo

[6] MA Armstrong. Groups and symmetry, Springer-Verlag, New York, 1988. ritornare al testo

[7] C. Corrales Rodrigañez, Dallo spazio come contenitore allo spazio come rete in "Matematica e Cultura 2000", a cura di M. Emmer Sprinter-Italia (2000): 123-138. ritornare al testo

[8] C.Corrales Rodriganez. Contando el espacio, mobcoop edicciones Madrid 2000. ritornare al testo

GLI AUTORI
Andrea Pagano e' attualmente Agente Contrattuale presso il Centro Comune di Ricerca della Commissione Europea di Ispra. Ha conseguito il Ph.D. in Matematica presso la Brown University. Negli anni si e' occupato di caratterizzazione dei domini limitati in C^n, di analisi dei dati spaziali, sistemi GIS e di analisi delle serie storiche ambientali.

Laura Tedeschini Lalli è professore associato in fisica matematica presso la Facoltà di Architettura dell' Università Roma Tre. La sua formazione è in Matematica ed in Composizione musicale. Ha conseguito il Ph.D. in Matematica Applicata presso la University of Maryland a College Park.
I suoi interessi di ricerca sono in Sistemi Dinamici Caotici (teorico) ed alcune applicazioni; nella sonificazione di dati; nel ruolo (spesso implicito) del modello matematico nella comunicazione della scienza. È General Convenor della European Women in Mathematics (EWM).

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